Điều này diễn ra trong bối cảnh đảng cầm quyền Georgian Dream thành công trong việc củng cố quyền lực, nhưng cũng vấp phải những chỉ trích mạnh mẽ từ phe đối lập và các nhà quan sát quốc tế. Trong khi đó, người hâm mộ bóng đá sẽ cảm thấy thú vị khi có thêm một cựu cầu thủ trở thành lãnh đạo đất nước. Trước đó có thể kể đến George Weah, huyền thoại giành Quả bóng vàng và là cựu Tổng thống của Liberia.
Cũng như nhiều cầu thủ hàng đầu khác của Georgia, Kavelashvili bắt đầu sự nghiệp của mình tại Dinamo Tbilisi, xuất thân từ hệ thống đào tạo trẻ của câu lạc bộ này vào năm 1989. Là một tiền đạo khéo léo, anh nhanh chóng khẳng định vị trí trong đội hình chính của Dinamo trước khi chuyển đến câu lạc bộ Nga Spartak Vladikavkaz vào năm 1995.
Ngày 1 tháng 3 năm 1996, anh bắt đầu tập luyện cùng Manchester City và chính thức gia nhập đội bóng vào ngày cuối của kỳ chuyển nhượng. Kavelashvili ra mắt đội bóng vào ngày 6 tháng 4, ghi bàn trong trận derby gặp Manchester United. Sau khi Man City bị xuống hạng, anh thi đấu 24 trận (ghi được hai bàn) tại giải Football League First Division. Tuy nhiên, số trận này không đủ để anh gia hạn giấy phép lao động, khiến Kavelashvili phải chuyển sang thi đấu dưới dạng cho mượn tại Grasshoppers, nơi anh giành chức vô địch Swiss Super League năm 1998.
Phần lớn sự nghiệp sau đó của Kavelashvili gắn bó với các câu lạc bộ tại Thụy Sĩ, bao gồm Zurich, Luzern, Sion và Aarau. Trong mùa thu năm 2004, Aarau cho mượn cầu thủ này tới Vladikavkaz, nhưng Kavelashvili chỉ chơi 7 trận trước khi quay trở lại Thụy Sĩ.
Mùa giải 2005–06, Kavelashvili gia nhập đội một Basel dưới sự dẫn dắt của HLV Christian Gross. Gross từng là HLV của Grasshoppers khi Kavelashvili giành chức vô địch Thụy Sĩ mùa 1997–98. Anh có trận ra mắt giải vô địch quốc nội cho Basel vào tháng 3 năm 2006. Trong trận này, anh ghi bàn thắng đầu tiên cho Basel, đồng thời cũng là bàn thắng quyết định giúp đội thắng 1–0 trước Grasshoppers.
Trong mùa giải đầu tiên tại Basel, Kavelashvili có 10 lần ra sân, tất cả đều từ ghế dự bị. Ở mùa giải thứ hai, anh ra sân thêm 7 lần, cũng đều từ ghế dự bị, trước khi bị câu lạc bộ thanh lý hợp đồng ngay trước kỳ nghỉ đông. Sau đó, anh giải nghệ.
Với đội tuyển quốc gia Georgia, anh đã ra sân tổng cộng 46 trận, ghi 9 bàn, giành chức vô địch Giải bóng đá quốc tế Malta năm 1998.
